复变函数与积分换算第一章

复变 第一章

以下内容从对应练习中写出

1.1 复数的表达

• 对于复数对应点在复平面的象限

  方法: 转换为指数函数，最后看$e^{\theta i}$中的$\theta$来确定象限

  $\theta$的范围转换为$-2\pi<\theta<2\pi$

  先提取出模长(一定为正值)，负号(-)转换为乘$e^{\pi i}$,

• 辐角主值($-\pi<\theta<\pi$)

• 反正切函数的使用

  • 因为$-\frac{\pi}{2}<arctan(x)<\frac{\pi}{2}$，所以要处理第二，三象限

  • 2加$\pi$,3减$\pi$

    可以根据y轴的正负轴记忆

1.2 复数的基本运算

• 辐角(Arg(x))是$\theta+2k\pi$ 而辐角主值(arg(x))是在($-\pi,\pi$)
• 如有求模运算可以先求模在进行乘除
• 模长不等式: $||z_1|-|z_2||\le|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|$

1.3 复数的乘幂运算和开方运算

被开方数和乘幂运算原表达形式不为指数函数

• 尽可能转换成指数形式
• 开多少次方就有多少个值(针对单根)
• 题目中的”所有值“的意思为考虑辐角(Arg(x)=$\theta+2k\pi$)时的情况
• 一定要把被开方的指数表达的复数($re^{(\theta + 2k\pi)i}$)写成如此

1.4 指数函数和对数函数

指数函数

指数函数是定义在整个复平面上的单值函数

• 有$(e^{z_1})^{z_2}=e^{z_1 z_2+2k\pi i}$，则当$z_2$为无理数或者虚数时，我们就有$(e^{z_1})^{z_2}\neq e^{z_1 z_2}$

  或者$z_1$为无理数或者虚数时也一样

• 对于指数函数相关问题可以直接将所有数转化成指数形式

对数函数

$$Ln z=ln|z|+iArg(z)=lnz+2k\pi$$

但对数函数的主值定义为$lnz=ln|z|+iarg(z)$ 且因为为辐角主值所以($-\pi,\pi$)

1.5 三角函数和双曲函数

三角函数

$$sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\quad cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$

|sin(z)|和|cos(z)|都是无界函数

双曲函数

$$sh(z)=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\quad ch(z)=\frac{e^z+e^z}{2}$$

第一章总结

• 多值函数目前已知为$Ln(z)=ln(z)+2k\pi$

• 复变平面中点的象限问题

• lm(z),Re(z),arg(z),Arg(z)等符号意义